题解 - 爱吃鱼的小Y
算法竞赛题解 | 难度：普及
这是一篇ChatGPT生成的文章……
期望值（Expectation）是概率论和统计学中的一个重要概念，它表示在一个随机事件或随机变量的多次重复实验中，某个特定数值的平均或期望表现。通常用符号 “$E(X)$” 表示，其中 “$X$” 是随机变量。期望值提供了一个概率分布的数值特征，它可以帮助我们了解随机事件的中心趋势。
在离散随机变量的情况下，期望值的计算可以使用下面的公式：
\[\[ E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X = x) \]\]其中，”$X$” 是随机变量，”$x$” 是可能的取值，”$P(X = x)$” 是随机变量取值 “$x$” 的概率。
在连续随机变量的情况下，期望值的计算可以使用积分：
\[\[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx \]\]其中，”$X$” 是连续随机变量，”$x$” 是可能的取值，”$f(x)$” 是概率密度函数。
期望值提供了关于随机事件或随机变量的平均性质的信息，它可以用于预测或分析各种统计问题，包括赌博、金融、科学研究和工程等领域。
当从数字3、2、1中选择一个数字时，我们可以计算选取的数字的期望。
由于只能选择一个数字，每个数字被选中的概率都是相同的，即 $\frac{1}{3}$。因此，期望值计算如下：
$[ \text{期望值} = 3 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2 ]$
所以，在从数字3、2、1中选择一个数字时，选取的数字的期望值为2。这表示平均来说，你可以期望选中的数字为2。
当从数字3、2、1中选择2个数字时，我们可以计算总和的期望。
首先，列出所有可能的组合：
- 选择数字3和2：总和为 3 + 2 = 5
- 选择数字3和1：总和为 3 + 1 = 4
- 选择数字2和1：总和为 2 + 1 = 3
这些数的选取概率相同，因此我们可以计算期望值。
期望值 = (每种可能的总和 * 出现的概率) 的总和
概率是根据这些数字的组合来确定的。由于每个数的选择概率相同，每个组合的概率都是相同的，为 1/3。
所以计算期望值：
$[ \text{期望值} = \frac{5+4+3}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{12}{3} \times \frac{1}{3} = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3} ] $
因此，在从数字3、2、1中选择2个数字时，总和的期望值为 $( \frac{4}{3} )$ 。
上面的思路是假的 *** 要计算进行k次操作：从n个数中选择一个数，然后从这些数的总和中减去这个数的2倍，求最后值的期望，我们可以采用递归的方式来计算。
首先，定义一个函数E(n)来表示从n个数中进行一次操作后的期望值，然后根据递归的方式计算k次操作后的期望值。
具体的递归公式如下：
$[ E(n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (E(n-1) - 2x_i) ]$
其中，$E(n-1)$ 表示从$n-1$个数中进行一次操作后的期望值，$x_i$ 表示第i个数。
然后，根据k次操作的情况，可以依次计算出$E(n)$、$E(n-1)$、$E(n-2)$ 等，最终得到k次操作后的期望值。
请注意，这是一个递归计算，因此随着n和k的增加，计算的复杂性会增加。如果n和k较大，计算可能会变得相当复杂，可能需要编程来进行计算。 *** 是的，可以通过数学分析简化问题，使得在$\mathcal{O}(n)$时间内计算得到最终答案。
首先，考虑一次操作，选择一个数$x$后，总和减去$2x$。如果我们在$n$个数中选择一个数$x$，总和减去$2x$的期望是多少呢？每个数被选择的概率都是$1/n$，所以这个期望值就是：
$[ E_1 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (E_0 - 2x_i) ]$
其中，$(E_0)$ 表示初始时的总和。这个期望值不依赖于具体的数值，只和初始总和 $(E_0)$ 有关。每个数都有相同的权重，所以期望值可以直接用初始总和 $(E_0)$ 减去每个数的两倍，然后再除以$n$：
$[ E_1 = E_0 - \frac{2E_0}{n} = \left(1 - \frac{2}{n}\right)E_0 ]$
现在，如果我们进行k次这样的操作，期望值就会变成：
$[ E_k = \left(1 - \frac{2}{n}\right)^k E_0 ]$
这个公式表示进行k次操作后的期望值。你可以直接使用这个公式，在O(1)的时间内计算出k次操作后的期望值，而不需要进行循环递归计算。