随便玩玩 T1 如图1， $3(FC + FA + CA) = BD + BF^{\prime} + DF^{\prime}$ ，那么椭圆 $T$ 与双曲线 $S$ 的离心率之比为？ 图1 解： $$ \begin{aligned} 2a&=CF+CA+AF^{\prime}\\ \frac43a&=FA+FC+CF\…

题目大意 丑数列是一个元素质因子仅包含 $2,3,5$ 的数列，特别地，$1$ 包含在内。 $$1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,\ldots$$ 请输出第1500个丑数。 题目分析 由于质因数只包含 $2,3,5$ ，元素可以转化为 $2^i\cdot 3^j\cdot 5^k$，也就是说序列中的每个元素只要乘上 $2,3,5$ 都可…

在探究组合数的时候，有一种杨辉三角求组合数的方法。为什么可以用杨辉三角求组合数呢？因为它们的递推关系是类似的。 参考： 【算法零基础学习】组合数与杨辉三角 组合数学之杨辉三角与组合数 杨辉三角形详解 杨辉三角长这个样子： $$ \begin{aligned} &1\cr 1&\texttt{ }1\cr 1\texttt{ }&am…

此笔记并不会囊括所有等差数列、等比数列的高考知识点。只是随意写写自己觉得高妙的地方。 等差数列（Arithmetic Sequence) 定义 数列中，任何两项的差相等，这个差被称为公差，用 $d$ 表示。 定义式：$a_n=a_1+(n-1)d$ 我们发现可以表达成一次函数形式：$a_n=dn+b$ 等差中项 对于任何 $a_n, n \geq …

数论分块也称整除分块，是一个竞赛中的常用小技巧。 来看一个题目： 已知 $f(n) = \sum_{i = 1}^{n} \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$，给定一个 n，求 $f(n)$ 的值。 如果 $1 \leq n \leq 10^6$，直接枚举，时间 5ms。 但是如果 $1 \leq n …

题目链接 长度为 $m$ 的栅栏上，有 $n$ 头牛需要坐车前往别的地方，起点和终点分别为 $a_i$ 和$b_i$ 。现在一辆出租车从最左端 $0$ 出发，要运送完所有牛，最后到达最右端$m$ ，求最小路程。出租车只能一次载一只牛。 题解 超级无敌大水题思维题 首先，出租车要将每个牛都从出发点送到目的地，那么必须经过所有牛的路程。我们先将这个路程…

兰道函数 对于所有非负整数，兰道函数$g(n)$定义为对称群$S_{n}$的所有元素的秩之中，最大的一个。或者说，$g(n)$是$n$的所有整数分拆之中的最小公倍数。 例如${displaystyle 5=2+3}, {displaystyle lcm(2,3)=6}$没有其他5的分割方式能得出一个更大的最小公倍数，故此${displaystyle…

这个是原题链接 关键在于发现题目是逆序对，实际上你在赛场上直接猜结论（确实需要一定的勇气，毕竟数据不够多，罚时等等）也是可以的，那么我们来推导一下这个性质。 $$\sum{(a_i-b_i)^2} = \sum{[a_i^2 + b_i^2 - 2a_ib_i]} = \sum{(a_i^2 + b_i^2)} - 2\sum {a_ib_i}$$…