此笔记并不会囊括所有等差数列、等比数列的高考知识点。只是随意写写自己觉得高妙的地方。

等差数列(Arithmetic Sequence)

定义

数列中,任何两项的差相等,这个差被称为公差,用 d 表示。

定义式:a_n=a_1+(n-1)d

我们发现可以表达成一次函数形式:a_n=dn+b

等差中项

对于任何 a_n, n \geq 2,有 a_{n – 1} + a_{n + 1} = 2a_n

考虑证明:

\begin{aligned}
a_{n-1}+a_{n+1}&=[a+(n-2)d]+(a+nd)\cr &=2a+(2n-2)d\cr &=2[a+(n-1)d]\cr &=2a_{n}
\end{aligned}

同样有一些衍生中项问题,不过多赘述。

求和

欧拉求和:\frac{\texttt{首项} + \texttt{末项} \times \texttt{项数}}{2},即:

S_n= \frac{n(a_1+a_n)}2

写成定义式形式:

S_n=a_1n+\frac{n(n-1)}2d

化简(我最常用):

\frac12dn^2+(a_1-\frac12d)n

代换

对于任意 a_n, n \geq2,有a_n = S_n – S_{n – 1}

考虑如何代换,基本上遵循题目求什么把别的换成什么。例如题目要求证明\lbrace S_n\rbrace 等差,那么把给出的式子中出现的 a_n 之类的都换成 S_n

利用平方差\完全平方公式

例题:给出 \frac{a_n + 1}2 = \sqrt{S_n},求证正项数列 \lbrace a_n \rbrace 为等差数列。

法1:化简得到(\sqrt{S_n} + \sqrt{S_{n-1}} – 1)(\sqrt{S_n} – \sqrt{S_{n-1}} – 1)=0

法2:见下

做差

高妙法!

如上例,化简得到:

a_n^2+2a_n+1=4S_n

同时列出

a_{n-1}^2+2a_{n-1}+1=4S_{n-1}

相减,得到

(a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1})-2(a_n+a_{n-1})=0

a_n – a_{n – 1} = 2

仿照上例,得到通式:

Aa_n^2+Ba_n+C=2BS_n ,且 \lbrace a_n\rbrace 为正项数列时,\lbrace a_n\rbrace\lbrace a_n\rbrace 为等差数列,公差 d = \frac{B}A

等比数列(Geometric Progression)

略过定义等

等比中项

a_{n-1}\times a_{n+1}=a_{n}^2

证明:

\begin{aligned}
a_{n-1}\times a_{n+1}&=ar^{n-2}\times ar^{n}\\
&=a^{2}\times r^{2n-2}\\
&=(ar^{n-1})^{2}\\
&={a_{n}}^{2}
\end{aligned}

推论:

给定一个等比数列 \lbrace a_n \rbrace,则有:

\lbrace b \cdot a_n \rbrace 为等比数列。

\lbrace \frac{b}{a_n} \rbrace 为等比数列。

\lbrace log_b(a_n) \rbrace 为等差数列。

错位相减

通常用在等比数列求和,现来推导。

有等比数列 \lbrace a_n \rbrace,公比为 q, q \neq 1

S_n = a+aq+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1}

S_n 乘以 q,得到 qS_{n}=aq+aq^{2}+\cdots +aq^{n}

对齐!

\begin{aligned}
S_n&=a\texttt{ }+&&aq+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1}\\
qS_{n}&=&&aq+aq^{2}+\cdots +aq^{n-1}+aq^{n}\\
\end{aligned}

相减!

(1-q)S_{n}=a-aq^{n}

S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}

错位相减衍生

有等差数列 \lbrace a_n \rbrace,公差为 d,等比数列 \lbrace b_n \rbrace,公比为 q

c_n = a_nb_n,求数列 \lbrace c_n \rbracen 项和 S_n

\begin{aligned}
S_n&=a_1b_1\texttt{ }+&&a_2b_2+a_3b_3+\cdots+a_nb_n\\
qS_n&=&&a_1b_2+a_2b_3+\cdots+a_{n-1}b_n+a_nb_nq
\end{aligned}

相减!

\begin{aligned}
(1-q)S_n&=a_1b_1-d(b_2+b_3+\cdots+b_{n-1}+b_n)+a_nb_nq\\
&=a_1b_1-\frac{b_2(1-q^{n-1})}{1-q}+a_nb_nq\\
\end{aligned}

根据情况化简即可。

不动点法

当遇到形如 a_{n + 1} = 2a_n + 2 的式子时,考虑不动点法。

a_{n + 1} = a_n,得到方程 x = 2x + 2,解得 x = -2,则有等比数列 \lbrace a_n – x \rbrace

推广:

Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0,如果 A \neq -B,有 A(a_{n+1}+k)=-B(a_{n}+k)\lbrace a_n + k \rbrace 为等比数列。

如果 A = -B,则为等差数列。

简单解释不动点,即为一个可以无限迭代而不变化的值:x = f(x) = f(f(x))=f(f(f(x)))=\cdots

对于一个数列,它可能永远也取不了x,但是会无限趋近x,也就是 \lim_{x \to \infty} x_n=x

裂项解法

(问题同上)有等差数列 \lbrace a_n \rbrace,公差为 d,等比数列 \lbrace b_n \rbrace,公比为 q

c_n = a_nb_n,求数列 \lbrace c_n \rbracen 项和 S_n

举例推演:

a_n = (2n – 1)\cdot \frac{1}{3^n},求 S_n

先将 a_n 表示成 c_n – c_{n + 1}

观察如何裂项,分子为 2n-1,分母为 3^n,当 c_n 分母为 3^n 时,分母为常数,当分子为 An + B 时,可以进行裂项。那么 c_n = \frac{An+B}{3^n}c_{n + 1}=\frac{A(n +1)+B}{c^{n+1}}

\begin{aligned}
c_n – c_{n + 1} &= (2n – 1)\frac{1}{3^n} \\
&= \frac{An+B}{3^n}-\frac{A(n +1)+B}{c^{n+1}}\\
\\
2n – 1 &= 3(An + B) – A(n + 1) – B\\
&=2An + 2B – A
\end{aligned}

解得 A = 1, B = 0

S_n = c_1 – c_{n + 1} = 1 – \frac{n + 1}{3^n}

数列求和

与之前的求和一样,数列求和还有一些别的做法。

裂项配凑

普通的裂项非常简单,但是情况稍复杂时,可能需要配凑,我们举例说明。

eg1:

\begin{aligned}
a_n&=\frac{1}{(\sqrt{n-1}+\sqrt{n})(\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}\cr\cr
&=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{2(\sqrt{n-1}+\sqrt{n})(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}\cr\cr
&=\frac12\Big(\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} \Big)
\end{aligned}

eg2:

\begin{aligned}
b_n&=\frac{3\cdot4^{n-1}}{(3\cdot4^n-3)(4^{n+1}-1)}\cr\cr
&=\frac{4^{n+1}-4^n}{3(4^n-1)(4^{n+1}-1)}\cr\cr
&=\frac13\Big(\frac1{4^n-1}-\frac1{4^{n+1}-1}\Big)
\end{aligned}