随便玩玩
T1
如图1， 3(FC + FA + CA) = BD + BF^{\prime} + DF^{\prime} ，那么椭圆 T 与双曲线 S 的离心率之比为？
解：
\begin{aligned}
2a&=CF+CA+AF^{\prime}\\
\frac43a&=FA+FC+CF\\
\\
\frac23a&=AF^{\prime}-AF=2a^{\prime}
\end{aligned}
所以
e_T:e_S=2a^\prime:2a=1:3
Note1
如图2，过椭圆切线 f 分别做过两个焦点的垂线 F_1E, F_2H, 切点为 D(x_1,y_1).
那么有 \angle F_1DF_2 的角平分线 m\bot f.
证明：
F_1D = a + ex\\F_2D = a – ex
设 m 与 x 轴交于点 M(x_1,0).
\begin{aligned}
x_1&=2c\frac{F_1P}{F_1P+F_2P}-c\\
&=ae+e^2x_0-c\\
&=e^2x_0
\end{aligned}
\begin{aligned}
k_1&=\frac{y_0}{x_0-ae-e^2x_0+c}\\
&=\frac{y_0}{x_0-e^2x_0}\\
&=\frac{y_0}{x_0(1-e^2)}\\
&=\frac{y_0}{x_0\frac{b^2}{a^2}}\\
&=\frac{y_0a^2}{x_0b^2}\\\
k_2&=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}
\end{aligned}
所以
k_1k_2=-\frac{x_0y_0a^2b^2}{x_0y_0a^2b^2}=-1
故
m\bot l
则有 f 为 \angle F_1DF 的角平分线。
\begin{aligned}
\therefore F_1E=EF\\
\therefore OE=\frac12F_2F
\end{aligned}
又
F_2F=F_1D+F_2D=2a\\
\therefore OE=a
故 E,H 都在圆 x^2+y^2=a^2 上.
